En maths, on a trouvé un « porte universelle » : une seule opération remplace toutes les formules.

Un nouvel opérateur eml pourrait ramener toute la mathématique computationnelle à une base unique - de l’arithmétique à la trigonométrie

En mathématiques, un équivalent du portail logique NAND pourrait émerger : une opération unique à partir de laquelle tout le reste s’exprime. Andrzej Odrzywolek, de l’Institut de physique théorique de l’Université Jagellonne, a présenté un travail annoncé comme une avancée susceptible de transformer en profondeur la manière dont on comprend les opérations mathématiques fondamentales.

L’auteur propose l’opérateur binaire eml(x, y) = exp(x) − ln(y) qui, associé à la constante 1, permettrait de reconstruire l’ensemble des fonctions élémentaires - de l’arithmétique à la trigonométrie. Autrement dit, la mathématique computationnelle pourrait être réduite à un unique « bloc de construction », à l’image des circuits numériques qui peuvent être ramenés à des portes NAND.

Le texte répond à une question de fond : existe-t-il, pour la mathématique continue, un primitif universel comparable à NAND en logique booléenne ? Jusqu’ici, on considérait généralement que les fonctions élémentaires exigeaient un ensemble d’opérations distinctes - addition, multiplication, logarithmes, trigonométrie. L’auteur soutient au contraire que cette diversité peut être ramenée à une seule opération.

L’idée centrale part du constat que l’exponentielle et le logarithme forment déjà un quasi-basis complet pour le calcul. Par exemple, une multiplication peut s’écrire exp(ln a + ln b), et une puissance s’exprime via exp(b ln a). L’opérateur eml fusionne exp, ln et la soustraction en une seule fonction. Dans les cas les plus simples, on obtient des constructions directes : exp(x) = eml(x, 1), et le logarithme se formule au moyen d’applications imbriquées de eml.

Au final, toute expression se représente comme un arbre binaire dont chaque nœud correspond exactement à la même opération eml. Formellement, cela se décrit par une grammaire du type S → 1 | eml(S, S). Une telle écriture se distingue radicalement de la notation habituelle des formules, où l’on manipule des dizaines d’opérateurs différents.

L’auteur dit avoir testé la complétude de cette base par un protocole itératif d’« ablation ». À partir d’un ensemble initial de 36 primitives mathématiques, il a retiré les éléments un à un, puis vérifié s’il était possible de les reconstruire à partir de ce qui restait. La validation a été effectuée numériquement : au lieu d’une preuve symbolique, il a eu recours à des substitutions de constantes transcendantes indépendantes et à la comparaison des valeurs obtenues. Cette démarche lui permet de conclure que eml et la constante 1 constituent bien un ensemble complet.

La conséquence pratique annoncée est une simplification drastique de la régression symbolique. En temps normal, il s’agit d’un problème très complexe, qui s’appuie sur des heuristiques, des algorithmes génétiques ou une recherche combinatoire dans un espace gigantesque de formules et d’opérateurs possibles. Avec une représentation fondée sur eml, toutes les formules deviennent des arbres homogènes d’un seul type. Cela ouvre la voie à une architecture matérielle unifiée pour les calculs mathématiques, de la même manière que les circuits numériques se construisent à partir de transistors identiques ou de portes NAND. À terme, cela pourrait déboucher sur des dispositifs de calcul plus efficaces, plus compacts et possiblement plus rapides pour des applications scientifiques et d’ingénierie.

Le travail évoque aussi l’idée d’un compilateur EML capable de traduire des formules en expressions équivalentes utilisant uniquement eml. Ces expressions pourraient ensuite être évaluées sur un matériel ne disposant que d’une instruction : l’opérateur lui-même. De tels compilateurs pourraient produire un code exécuté sur un équipement EML spécialisé, ou bien émuler sur des ordinateurs classiques, tout en garantissant une structure uniformisée. L’approche pourrait être pertinente pour des systèmes où l’on recherche un fort déterminisme, une performance prévisible ou une réduction maximale des ressources matérielles.

Des limites sont toutefois mentionnées. Pour générer certaines constantes, comme π et i, les calculs doivent passer dans le domaine complexe, car il faut pouvoir écrire ln(−1). S’ajoutent des questions de débordement et de précision en calcul à virgule flottante, qui imposeraient des contraintes supplémentaires sur les plages de valeurs manipulées.

Dans une perspective plus large, l’article suggère que l’organisation des fonctions élémentaires pourrait être bien plus simple qu’on ne le pensait. Si l’approche se généralise, elle pourrait rapprocher apprentissage automatique et science classique : au lieu de modèles produisant seulement des prédictions, on disposerait d’un moyen d’extraire automatiquement des lois mathématiques exactes à partir des données.

Enfin, le texte ne précise pas comment une vérification formelle externe a été réalisée. Le fait que la publication soit déposée sur arXiv (arXiv:2603.21852v2) laisse entendre qu’elle a connu une certaine forme d’examen (et qu’elle en connaîtra dans le cadre d’une soumission à une revue scientifique). La mention v2 indique que le document a probablement été mis à jour ou corrigé après la diffusion initiale, possiblement à la suite de remarques ou de suggestions. Néanmoins, aucun détail concret sur un processus d’évaluation externe n’est fourni dans l’article. Ainsi, l’essentiel de la vérification décrite semble avoir été effectué par l’auteur lui-même, en s’appuyant sur des calculs rigoureux et des méthodes de validation computationnelle.